1.1 Définition d’un robot manipulateur Un robot manipulateur est un système mécanique articulé composé d’une suite de maillons reliés par des articulations rotatives (R) ou prismatiques (P). Il est commandé par :

des actionneurs (moteurs DC, moteurs couples, servomoteurs)

des capteurs (encodeurs, accéléromètres, capteurs de force)

une unité de commande numérique

1.2 Objectifs de la commande du robot Positionner l'effecteur avec précision.

Suivre une trajectoire donnée dans le temps.

Compenser la dynamique non linéaire et les perturbations.

Garantir la stabilité et la robustesse du mouvement.

1.3 Défis Fort couplage entre articulations.

Non-linéarités (Coriolis, gravité).

Modèle incertain (masses inconnues, frottements).

Contraintes de sécurité.

Chapitre 2 : Modélisation Cinématique 2.1 Cinématique directe (Forward Kinematics) Modélisation via les paramètres DH.

Chaîne de transformation homogène :

0 𝑇 𝑛

∏ 𝑖

1 𝑛 𝑖 − 1 𝑇 𝑖 0 T n ​

i=1 ∏ n ​

i−1 T i ​

Calcul de :

position : 𝑃

( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) P=(x,y,z)

orientation : matrice de rotation 𝑅 R, angles d’Euler, quaternion

2.2 Cinématique inverse Méthodes analytiques Utilisées pour robots classiques (SCARA, PUMA 560).

Résolution géométrique ou trigonométrique.

Méthodes numériques Méthode pseudo-inverse du Jacobien :

𝑞 ˙

𝐽 † ( 𝑞 )   𝑥 ˙ q ˙ ​ =J † (q) x ˙

Avec gestion des singularités :

𝐽 †

𝐽 𝑇 ( 𝐽 𝐽 𝑇 + 𝜆 2 𝐼 ) − 1 J † =J T (JJ T +λ 2 I) −1

2.3 Cinématique différentielle Définition de la matrice Jacobienne 𝐽 ( 𝑞 ) J(q)

𝑥 ˙

𝐽 ( 𝑞 ) 𝑞 ˙ x ˙ =J(q) q ˙ ​

Détection des singularités :

perte d’un degré de liberté

rang(J) < DOF opérationnel

Chapitre 3 : Modélisation Dynamique Le modèle général du robot est :

𝑀 ( 𝑞 ) 𝑞 ¨ + 𝐶 ( 𝑞 , 𝑞 ˙ ) 𝑞 ˙ + 𝐺 ( 𝑞 ) + 𝐹 ( 𝑞 ˙ )

𝜏 M(q) q ¨ ​ +C(q, q ˙ ​ ) q ˙ ​ +G(q)+F( q ˙ ​ )=τ 3.1 Matrice d'inertie 𝑀 ( 𝑞 ) M(q) Symétrique, définie positive.

Varie avec l’angle des articulations.

3.2 Termes de Coriolis & centrifuges 𝐶 ( 𝑞 , 𝑞 ˙ ) C(q, q ˙ ​ ) Représente les forces de couplage dynamique.

3.3 Gravité 𝐺 ( 𝑞 ) G(q) Dépend uniquement des positions articulaires.

3.4 Frottements 𝐹 ( 𝑞 ˙ ) F( q ˙ ​ ) Sec (Coulomb)

Visqueux

3.5 Propriétés essentielles Linéarité en paramètres :

𝑀 ( 𝑞 ) 𝑞 ¨ + 𝐶 ( 𝑞 , 𝑞 ˙ ) 𝑞 ˙ + 𝐺 ( 𝑞 )

𝑌 ( 𝑞 , 𝑞 ˙ , 𝑞 ¨ ) 𝜃 M(q) q ¨ ​ +C(q, q ˙ ​ ) q ˙ ​ +G(q)=Y(q, q ˙ ​ , q ¨ ​ )θ → utile pour commande adaptative

 Chapitre 4 : Commande Articulaire Classique 4.1 Commande Proportionnelle–Dérivée (PD) 𝜏

𝐾 𝑝 ( 𝑞 𝑑 − 𝑞 ) + 𝐾 𝑑 ( 𝑞 ˙ 𝑑 − 𝑞 ˙ ) τ=K p ​ (q d ​ −q)+K d ​ ( q ˙ ​

d ​ − q ˙ ​ ) Limitations : Performances limitées pour trajectoires rapides.

Ne compense pas les effets dynamiques.

4.2 PD + compensation de gravité 𝜏

𝐾 𝑝 𝑒 + 𝐾 𝑑 𝑒 ˙ + 𝐺 ( 𝑞 ) τ=K p ​ e+K d ​

e ˙ +G(q)

Chapitre 5 : Commande à Couple Calculé (Computed Torque Control) Méthode de référence dans l’industrie.

5.1 Principe Linéariser la dynamique du robot.

Transformer le système non linéaire en un système linéaire équivalent.

Loi de commande : 𝜏

𝑀 ( 𝑞 ) 𝑣 + 𝐶 ( 𝑞 , 𝑞 ˙ ) 𝑞 ˙ + 𝐺 ( 𝑞 ) τ=M(q)v+C(q, q ˙ ​ ) q ˙ ​ +G(q) où

𝑣

𝑞 ¨ 𝑑 + 𝐾 𝑑 ( 𝑞 ˙ 𝑑 − 𝑞 ˙ ) + 𝐾 𝑝 ( 𝑞 𝑑 − 𝑞 ) v= q ¨ ​

d ​ +K d ​ ( q ˙ ​

d ​ − q ˙ ​ )+K p ​ (q d ​ −q) 5.2 Système linéarisé 𝑒 ¨ + 𝐾 𝑑 𝑒 ˙ + 𝐾 𝑝 𝑒

0 e ¨ +K d ​

e ˙ +K p ​ e=0 → dynamique parfaitement contrôlée si modèle précis.

5.3 Sensibilité au modèle Très performant si 𝑀 , 𝐶 , 𝐺 M,C,G sont bien connus.

Dégradé avec les incertitudes.

 Chapitre 6 : Commande Robuste 6.1 Mode glissant (Sliding Mode Control – SMC) Surface de glissement : 𝑠

𝑒 ˙ + 𝜆 𝑒 s= e ˙ +λe Loi de commande : 𝜏

𝜏 𝑒 𝑞 − 𝐾   sgn ( 𝑠 ) τ=τ eq ​ −Ksgn(s) ✔ robustesse élevée ✖ phénomène de chattering

6.2 H∞ / μ–synthèse Contrôleur optimal robuste face aux incertitudes multiplicatives.

Chapitre 7 : Commande Adaptative 7.1 Commande adaptative de Slotine–Li Méthode la plus célèbre.

Forme de la loi : 𝜏

𝑌 ( 𝑞 , 𝑞 ˙ , 𝑞 ˙ 𝑟 , 𝑞 ˙ 𝑟 ) 𝜃 ^ + 𝐾 𝑠 τ=Y(q, q ˙ ​ , q ˙ ​

r ​ , q ˙ ​

r ​ ) θ ^ +Ks Mise à jour des paramètres : 𝜃 ^ ˙

− Γ 𝑌 𝑇 𝑠 θ ^

˙ =−ΓY T s Avantages : Fonctionne avec incertitudes massives.

Garantie de stabilité (théorème de Lyapunov).

 Chapitre 8 : Commande Non Linéaire 8.1 Feedback linearization totale Permet de transformer la dynamique en équation linéaire.

8.2 Passivity-based control (PBC) S'appuie sur :

l'énergie cinétique

l'énergie potentielle

la structure dissipative du robot

8.3 Backstepping Utilisé pour :

robots sous-actués

systèmes fortement non linéaires

Chapitre 9 : Commande en Espace Opérationnel 9.1 Commande de force Contrôle de l’effort au point d’interaction.

Utilisation de capteurs 6D (Fx Fy Fz Mx My Mz).

9.2 Commande d’impédance Comportement désiré :

𝑀 𝑑 𝑒 ¨ + 𝐵 𝑑 𝑒 ˙ + 𝐾 𝑑 𝑒

𝐹 𝑒 𝑥 𝑡 M d ​

e ¨ +B d ​

e ˙ +K d ​ e=F ext ​

→ très utilisé pour cobots.

9.3 Commande hybride force/position Force contrôlée sur un axe

Position contrôlée sur les autres

Chapitre 10 : Trajectoires et planification Trajectoires polynomiales Cubique

Quintique (souvent utilisée)

Interpolation via spline Profil trapézoïdal de vitesse Génération de trajectoires dans l’espace opérationnel

 Chapitre 11 : Applications Pratiques Robots industriels KUKA KR6

ABB IRB 120

Fanuc LR Mate

Simulations MATLAB/Simulink

ROS + Gazebo

Python (Robotics Toolbox)

TP Modélisation DH d’un robot 6 axes

Commande PD + gravité

Torque control sur un manipulator 2 DOF

Commande adaptative (Slotine-Li)

Commande d’impédance sur un cobot simulated ROS