CNEPRU : Accélération des méthodes d’optimisation sans contraintes et Résolution numérique de problèmes polynomiaux aux valeurs propres

Project Code	Period
C00L03UN410120200002	2021-2024

Project Leader

Mohammed BELLOUFI Professor Faculty of Science and Technology University of Souk Ahras, Souk Ahras : 0667435163 : m.belloufi@univ-soukahras.dz : https://www.univ-soukahras.dz/en/profile/mbelloufi

Members

Full name	Position	Field
Badereddine SELLAMI	Professor
Amer MESBAHI	Senior Lecturer
Sarra delladji	Temporary Lecturer
Amira HAMDI	PhD student
Nasreddine CHENNA	PhD student

Project Description

Ce projet comprend deux axes de recherches indépendantes :

1- Accélération des méthodes d’optimisation sans contraintes

On s’intéresse dans cet axe à un problème d’optimisation sans contraintes sont incontournables et sont rencontrés dans tous les domaines des sciences de l’ingénieur. Le développement des modèles théoriques et des techniques traitant les problèmes d’optimisation a connu une accélération spectaculaire, particulièrement après la deuxième guerre mondiale.

Les méthodes numériques utilisées pour résoudre les problèmes d’optimisation sans contraintes sont itératives. On part d’un point initial et à la k eme itération, si xk on a , le successeur xk+1 est obtenu en utilisant les informations utilisées à l’itération k. Il est souhaitable que la suite xk, ainsi construite converge vers la solution optimale du problème. On classe les méthodes d’optimisation sans contraintes itératives en deux classes essentielles : les méthodes à recherches linéaires et les méthodes à régions de confiance.

Parmi les plus anciennes méthodes itératives utilisées pour résoudre les problèmes d’optimisation sans contraintes non linéaires, on peut citer : méthode de gradient, méthodes du gradient conjugué, méthodes du gradient conjugué hybride, méthode de Newton, méthode de quasi Newton, méthode spectrale.

On essaye dans cet axe de recherche d’étudier et résoudre le problème suivant :

Pouvons-nous accélérer ces méthodes, définir d’autres nouvelles et étudier leurs propriétés de descente et de convergence ?

2- Résolution numérique de problèmes polynomiaux aux valeurs propres

Les calculs des valeurs propres et les vecteurs propres de matrices est un des problèmes les plus importants en analyse numérique linéaire. Les techniques requérant la connaissance du spectre de matrices sont utilisées dans des domaines aussi variés que la mécanique quantique, l'analyse des structures, la théorie des graphes, les modèles de l'économie et le classement des pages de la Toile informatique par les moteurs de recherche. Par exemple, en mécanique des structures, les problèmes de « résonances » ou de « vibrations » de structures mécaniques, décrits par l'analyse spectrale, se ramènent à des calculs de valeurs et de vecteurs propres. Les problèmes de valeurs propres apparaissent dans l'analyse de la stabilité de systèmes dynamiques.

Le problème aux valeurs propres généralisés structuré (à structure Hamiltonienne) apparaît dans de nombreuses applications en sciences de l’ingénieur, allant de l’analyse dynamique des systèmes structurels à la théorie du contrôle et des systèmes dynamiques.

La construction d’algorithmes qui permettent de résoudre le problème aux valeurs propres généralisés tout en conservant la structure algébrique du problème permet de réduire considérablement le nombre d’opérations et permet par conséquent de calculer la solution avec plus de précision.

L’approche consiste à réduire le problème polynomial aux valeurs propres à un problème pencil

Où A est une matrice Hamiltonienne et B est une matrice anti-Hamiltonienne. Puis, à l’aide de la factorisation RJR de la matrice anti-Hamiltonienne B, nous transformons le problème pencil à un problème standard HV=aV

1ère Objectif :

Il s'agira d'étudier un certain nombre de méthodes classiques basées notamment sur les gradients des fonctions à optimiser ; ces techniques seront analysées du point de vue de leur convergence et les mettre en œuvre en les programmant, de les comparer et d'élaborer un outil graphique permettant d'illustrer le fonctionnement des méthodes itératives de manière didactique.

On essaye dans ce projet d’améliorer l’efficacité des méthodes itératives classiques pour l’optimisation sans contraintes.

D’autre part on essayera de proposer d'autres méthodes basées sur le gradient et on essayera de faire des Tests numériques pour montrer l’efficacité et la performance du nouvel algorithme.

2ème Objectif :

Le calcul de valeurs propres et de sous espaces invariants pour des matrices structurées a connu ces dernières années beaucoup de développement, il est la base de la résolution de problèmes dans plusieurs applications dont nous citons par exemple : la théorie du contrôle, le traitement de signal.

Donc l'objective essentielle c'est la conservation de la structure d'origine de la matrice permet de donner des méthodes numériques moins coûteuses et plus précises. La modélisation de problèmes que nous rencontrons en physique, en mécanique, en chimie etc ... , conduit à la résolution d'équations algébriques de types Sylvester, Riccati et autres. Ces équations algébriques se ramènent au calcul de valeurs propres, de vecteurs propres et de sous-espaces invariants de matrices structurées.